有限差分：用离散理解连续

网格上的导数

在均匀网格 $x_i=ih$ 上，我们可以用函数值的差来近似导数。中心差分的形式是：

若函数足够光滑，Taylor 展开表明这个近似的截断误差为 $O(h^2)$。

二阶导数

把两侧的 Taylor 展开相加，得到：

由此，微分方程可以转化为网格上未知函数值构成的代数方程组。边界条件决定了方程组边缘处如何处理。

网格越细就越好吗？

截断误差通常随网格尺度缩小而减小，但浮点舍入误差也会参与计算。对数值求导而言，过小的步长可能放大相减造成的误差。

可以从 $f(x)=\sin x$ 开始，比较多个步长下的差分结果与解析导数 $\cos x$，观察误差曲线。

一个可复现的实验清单

• 写清楚函数、区间与边界条件。
• 记录网格点数与步长。
• 比较解析解与数值解。
• 用多个网格验证误差变化规律。

公式的价值，最终要在可检验的计算中体现。